El misterioso cono Truncado...........

El cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

Elementos del cono truncado

La sección determinada por al corte es la base menor.

La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases

Los radios son los radios de sus bases.

La generatriz es el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases.

Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

Área lateral de un cono truncado

Área de un cono truncado

Volumen de un cono truncado

La 2° parte del cono =)

Secciones cónicas

Al cortar un plano a una superficie cónica, obtenemos distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

que es llamada parametrización del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta  respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro)

El ultimo de todos: El cono

Definición:

Es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Se clasifican en:

§  cono recto, si el vértice equidista de la base circular

§  cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base

§  cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.

El área de la superficie del cono recto es:

A= area de la base + area lateral = pi x R al cuandrado + pi x radio x generatriz

Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: G = raiz de H al cuadrado mas R al cuadrado

La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcula la distancia "a" del diagrama que esta aqui al lado es con la ecuación de

o sea la ecuacion de la parte superior donde "g" va a ser el valor de "a" (g = a) y "h" es la altura del cono. De esta manera podra calcular el angulo que esta sombriado en la figura que necesita para obtener el diametro del cono, la ecuación  te dara ese angulo, el angulo sombriado de la figura donde "r" es el diametro que se quiere.

El volumen  de un cono de radio  y altura  es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

La ecuación se obtiene mediante ,

donde  es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura h, en este caso

 

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EL NUEMRO 13

¿Por qué siempre asociamos el número 13 con la mala suerte? Hay varias explicaciones. Entre ellas está que había 13 personas en la Última Cena de Jesucristo y luego fue crucificado, que el código de Hammurabi omite este número en su lista, que existen 13 espíritus del mal, o que los calendarios sólo tienen doce meses.

Se trata de una superstición antigua fuertemente arraigada en nuestra cultura, hasta el punto de llegar a hablar de una enfermedad (triscadecafobia) en aquellas personas que tienen miedo a este número. En España y Latinoamérica los días martes 13 se consideran de mal agüero, y lo mismo ocurre con los viernes 13 en Francia y países anglosajones.

Algunos datos curiosos como el hecho de que se evite el 13 en la Fórmula 1, que en algunos portales se omita el número 13 o que en Madrid no exista la línea 13 de autobús, demuestran este recelo en nuestra sociedad. Otros datos revelan cómo la vida de una persona como Richard Wagner parece estar ligada a dicho número, nació en un año acabado en 13, la suma de las letras de su nombre y apellido son 13, los números de su año de nacimiento (1813) suman también 13, compuso 13 óperas y falleció un día 13.

Se suele decir: “En martes 13 no te cases ni te embarques, ni de tu familia te apartes”. En Francia, por ejemplo, nunca se le da a una casa el número trece en su dirección. En Italia, la lotería nacional lo omite. Las líneas aéreas internacionales obvian ese número en los asientos de los aviones. En los Estados Unidos, los edificios rascacielos y departamentos dan al piso que sigue al 12 el número 14.

Todo esto tiene su origen en la mitología nórdica en la era precristiana. A un banquete en el Valhalla fueron invitados doce dioses. Loki, el espíritu de la pelea y del mal, se coló por las buenas, con lo que el número de los presentes llegó a trece. En la lucha que se produjo para expulsar a Loki, Balder, el favorito de los dioses, encontró la muerte.

Ésta es una de las primeras referencias escritas a la mala fortuna relacionada con el número trece. Desde Escandinavia, la superstición se difundió a través de Europa, en dirección Sur.

Al iniciarse la era cristiana, estaba ya bien establecida en los países mediterráneos. Entonces, la creencia fue notablemente reforzada, en forma contundente, por la cena más famosa de la historia: la Última Cena. Cristo y sus apóstoles sumaban trece personas. Menos de veinticuatro horas después de esta cena, Cristo era crucificado.

En el siglo XVIII la marina británica intentó eliminar las supersticiones relativas al día viernes 13. Se mandó rebautizar a un buque con el nombre de HMS Friday (Friday significa “viernes”, en inglés), se designó a un capitán llamado Jim Friday, se reclutó a la tripulación un día viernes, también en viernes se armó la quilla del barco; y se botó la nave un viernes 13. Jamás se volvió a saber del barco o de su tripulación.

Pero también existen quienes dicen que el número 13 les trae suerte. Y mucho más los martes o viernes trece.

En los Estados Unidos, el trece sería considerado como un número con suerte. Forma parte de muchos de los símbolos nacionales, ya que en el reverso de los billetes de banco hay una pirámide incompleta de trece escalones, el águila heráldica sostiene en una garra una rama de olivo con trece hojas y trece frutos, y en la otra, trece flechas.

Hay, además, trece estrellas sobre la cabeza del águila. Todo esto, en realidad, nada tiene que ver con la superstición, sino que conmemora las trece colonias que originaron el país, y que por su parte fueron un símbolo de buen auspicio.

2)._ Paralelepipido

Es un poliedro de seis caras , en el que todas las caras son paralelogramos, y paralelas e iguales dos a dos.

Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro; y 8 vértices.

Tipos de paralelepípedos

• Un paralelepípedo recto es aquel que tiene al menos alguna de sus aristas perpendicular a un par de caras. Es a su vez un prisma cuyas bases son paralelogramos.
• Un paralelepípedo oblícuo es aquel en el que ninguna de las aristas es perpendicular a las caras.

Casos particulares

• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulo, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.
• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos es un romboedro.
• Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro regular o cubo.

Forma de medir el volumen de un paralelepípedo oblícuo.

En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que consideramos como base, como muestra la figura adjunta.

V = A x h

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

V = a · b · c

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm³.

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

V= l³

Tema N° 2: Prismas

1)._ Definicion:


Primero q nada es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.
En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma rectogularino. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente.
El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de las bases por la distancia entre ellas (altura):


V = A_base h   

                       

Hablemos del 1° matematense: Tales de Mileto

El fue el primero q se empilo con todo eso del "universo" .El pata fue el primer pensaste de la filosofal , y creo escuela de jónicos (se lo q sea eso XD) el viejo Aristóteles. fue el primer sabio de los siete en Grecia (el sabio q sabia astronomia), y tenia como su padawan a Pitagoras.
Sus estudios eran geometria, álgebra lineal, geometría del espacio y algunas ramas de la física, tales como la estática, la dinámica y la óptica. El bravo es una leyenda por lo sabio q era el man.


Los datos biográficos de Tales de Mileto son pensamientos, lo q hizo por los demás, y citas con alto grado de verosimilitud, recogidas de diversos autores de épocas bastante posteriores, y reinterpretados y expuestos a lo q pensaba el pe.Las raices de Tales es en la ciudad mas rara, desconocida, y q no tiene nada q ver con el, Mileto XD(, una antigua ciudad en la costa occidental de Asia Menor (en lo que actualmente es la Provincia de Aydın en Turquía), cerca de la desembocadura del río Menderes.


Su viejo fue Euxamias (conocido también como Examio) y de Cleobulina (o Cleóbula) (q tales nombres), y al parecer tuvo ascendencia fenicia. Como los jonios mantenían su merca por lo bajo , Tales visito el primero en ser educado por los sacerdots. Quizás fueron hermanos padawans XD suyos Solón y Ferécides de Siros. Un sapo antiguo lo vincula con Pitágoras, a quien habría dixo viajar a Egipto y aprender de los sacerdots de Menfis y Dióspolis.2 De los babilonios le pusieron en el coco aprender astronomía. Anaximandro y Anaxímenes pueden haber sido discípulos suyos.


Tanto Heródoto (I, 170) como Diógenes Laercio (I, 25) lo señalan como un master consejero político de jonios y lidios. Laercio dice que algunos, como el poeta Corilio, declararon que fue el primero en sostener la inmortalidad del alma, que, según nos refiere Aristóteles, es para Tales una fuerza motriz.
Aristóteles, por su parte, cuenta en su Política que también se empilo en los bussiness, una vez que, habiendo predicho (gracias a sus conocimientos astronómicos) cómo sería la cosecha de aceitunas, compró durante el invierno todas las prensas de aceite de Mileto y Quíos y las alquiló al llegar la época de la recolección, acumulando una gran fortuna y mostrando así que los filósofos pueden ser ricos si lo desean, pero que su meta es bien distinta.
Quizás la historia mas brava q tiene Tales es aquella que nos refiere Heródoto, cuando predijo a los jónicos el año en que sucedería un eclipse solar (Agradecimiento al sistema babilónico), hacia el año 585 a. C. Asimismo, Diógenes Laercio habla que, al caer Tales en un pozo después de ser llevado por una vieja mujer a ver las estrellas, ésta replicó a su pedido de ayuda: ¨¿Como te atreves, Tales, saber acerca de los cielos, cuando no ves lo que está debajo de tus pies?¨Esta anécdota es de platon


Se le agradece el haber realizado la medición de las pirámides, mediante las sombras que proyectan cuando éstas son de la misma medida que nosotros mismos. Fue el primero en haber hecho una explicación científica de un eclipse. También se dice que fue el primero en dividir al año en estaciones y en 365 días. En resumen, Fue una legend. XD


Traducción del texto: Giancarlo Cabañas