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lunes, 25 de octubre de 2010

¿Pelota de fútbol, esfera y poliedro?






Observamos una pelota de fútbol de las que son cocidas, ¿qué forma o formas tienen sus partes?¿cuántas "partes" la componen? ¿cuántas figuras tiene de cada tipo?
Si sus partes se encuentran compuestas por hexágonos y pentágonos regulares, seguramente se trate de un "icosaedro truncado". Este poliedro es el que generalmente se emplea para la construcción de balones, pero... ¿es el que más se aproxima a una esfera?
El volumen del icosaedro truncado es el 86,74% del volumen de una esfera.
Cuando se infla, sus caras se "curvan" y dicho porcentaje aumenta hasta llegar e incluso sobrepasar el 95%.

Pero existe otro poliedro que aún sin ser inflado ocupa el 94,32% del volumen de la esfera, su nombre es "rombicosidodecaedro" y al ser inflado llega a ocupar prácticamente el 100% del volumen. Está compuesto por doce pentágonos, treinta cuadrados y veinte triángulos.

¿Cuántos pentágonos y cuántos hexágonos componen un balón de fútbol?

Si bien el conteo de las caras de este poliedro no parece ser una tarea difícil puede llegar a complicarse. El conteo de los pentágonos, por ser menor su cantidad, resulta ser más sencillo y fácilmente se puede llegar a la conclusión de que son doce. Ahora bien... contar los hexágonos puede llevar a errores puesto que el número es mayor.

Luego de haber logrado determinar la cantidad de pentágonos y hexágonos, puede solicitarse el conteo de "costuras" del balón o "aristas" del poliedro.
 

Si los hexágonos son veinte y cada uno tiene seis lados (que se corresponderían con seis aristas del poliedro), ¿cuántas aristas serían?
Si los pentágonos son doce y cada uno tiene cinco lados (que se corresponderían con cinco aristas del poliedro), ¿cuántas serían en este caso?
Pero hay que tener cuidado en este punto puesto de no sumar números a la ligera puesto que si nos detenemos a observar, constataremos que cada arista es compartida por dos polígonos. ¿Cuál sería entonces un procedimiento eficaz para el conteo de las aristas del icosaedro truncado?

El conteo de caras, aristas y vértices del "rombicosidodecaedro" puede resultar un tanto más engorroso debido a que se compone de tres tipos diferentes de figuras, pero seguro que los más aventureros se animan también a encontrar esos valores. ¿Cuál puede ser el modo más sencillo de lograrlo?

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